新编算学启蒙卷中

    松庭朱世杰编撰

    田亩形段门十六问

    今有方田一段，自方九十六步，问为田几何？

    答曰：三十八亩四分。

    术曰：列九十六步，自乘，得九千二百一十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。

    今有直田一段，长四十九步，阔二十四步，问为田几何？

    答曰：四亩九分。

    术曰：列长四十九步，以阔二十四步乘之，得一千一百七十六步，为田积也，以亩法二百四十步除之，合问。

    今有勾股田一段，勾三十六步，即阔。股六十二步，即长。问为田几何？

    答曰：四亩六分五厘。

    术曰：列股六十二步，以勾三十六步乘之，折半，得一千一百一十六步，为田积也，以亩法而一，合问。

    今有梯田一段，东阔四十六步，西阔八十六步，长一百二十五步，问为田几何？

    答曰：三十四亩三分七厘半。

    术曰：列东阔并入西阔，半之，得六十六步，为停阔，以长步乘之，得八千二百五十，为田积步，以亩法而一，合问。

    今有圭田一段，长九十三步，阔三十四步，问为田几何？

    答曰：六亩五分八厘七毫半。

    术曰：列长九十三步，以阔三十四步乘之，折半得一千五百八十一，为田积步，以亩法而一，合问。

    今有圆田一段，周八十四步，径二十八步，问为田几何？

    答曰：二亩四分五厘。

    术曰：列周八十四步，以径二十八步乘之，得二千三百五十二，以四而一，得五百八十八，为田积步，以亩法而一，合问。

    今有圆田一段，不记周步，只云径一十六步，问为田几何？

    答曰：八分。

    术曰：列径一十六步，自乘，得二百五十六，三之四而一，得一百九十二，为田积。步，以亩法除之，合问。

    今有圆田一段，不记径步，只云周五十四步，问为田几何？

    答曰：一亩一厘二毫半。

    术曰：列周五十四步，自乘，得二千九百二十六，以十二而二，得二百四十三步，为田积也，以亩法而一，合问。

    今有皖田一段，下周六十四步，径三十三步，问为田几何？

    答曰：二亩二分。

    术曰：列周六十四步，以径三十三步乘之，得二千一百一十二，以四而一，得五百二十八，为田积步，以亩法二百四十步除之，皖田、窊田同圆田，法，一也。合问。

    今有弧田一段，矢阔一十四步，弦长二十八步，问为田几何？

    答曰：一亩二分二厘半。

    术曰：列弦长二十八步，加入矢阔一十四步，共得四十二步，以矢阔一十四步乘之，折半，得二百九十四步，为田积也，以亩法二百四十步约之，合问。

    今有钱田一段，外周一百八步，内池方九步，问为田几何？

    答曰：三亩七分一厘二毫半。

    术曰：列外周自乘，得一万一千六百六十四，以十二除之，得九百七十二步，寄位。又列池方九步，自乘，得八十一，以减寄位，余八百九十一，为田积步，以亩法二百四十步约之，合问。

    今有方田一段，自方八十四步，内有圆池，周一百四十四步，问为田几何？

    答曰：二十二亩二分。

    术曰：列八十四步自乘，得七千五十六步，寄位。又列池周步自乘，得二万七百三十六，以十二而一，得一千七百二十八步，为池积，以减寄位，余五千三百二十八，为田积步，以亩法除之，合问。

    今有三斜田一段，大斜七十五步，中斜六十步，小斜四十五步，中股长三十六步，问为田几何？

    答曰：五亩六分二厘半。

    术曰：列大斜七十五步，以中股长三十六步乘之，得二千七百步，折半得一千三百五十，为田积步，以亩法而一，合问。

    今有梭田一段，中阔三十四步，长一百八十六步，问为田几何？

    答曰：一十三亩一分七厘半。

    术曰：列中阔折半，得一十七步，以长一百八十六步乘之，得三千一百六十二，为田积步，以亩法而一，合问。

    今有方五斜七八角田一段，只云每面阔二十八步，问为田几何？

    答曰：一十六亩。

    术曰：副置阔二十八步，上位六之为长，下位倍之为广，乃长广相乘，得九千四百八步，乃是二个四分半积。以二个四分半除之，得三千八百四十，为田积步，以亩法二百四十步除之，合问。

    今有环田一段，外周一百四十四步，内周五十四步，实径一十五步，问为古徽、密率田各几何？

    答曰：古法六亩一分八厘七毫半。徽术五亩九分二步，一百五十七，分步之一百二十四。密率五亩九分一步。

    二十二分步之十。

    古法曰：并内外周折半，得九十九步，以实径一十五步乘之，得一千四百八十五，为田积步，以亩法除之，合问徽。

    术曰：内外周相减，余半之，得四十五步，又五十乘之，以一百五十七而一，得一十四步一百五十七分步之五十二，为徽径也。通分内子得二千二百五十，于上位，并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得二十二万二千七百五十，以分母一百五十七而一，得一千四百一十八步一百五十七分步之一百二十四，为田积也，以亩法除之，合问。密率曰：内外周相减，余半之，得四十五步，七之得三百一十五，以二十二而一。得一十四步二十二分步之七，为密径也。通分内子得三百一十五，于上位，亦并内外周而半之，得九十九，以乘上位，得三万一千一百八十五，以二十二而一，得一千四百一十七步二十二分步之一十一，为田积也。以亩法除之，合问。

    仓囤积粟门九问

    今有仓一所，长三丈八尺，阔一丈二尺五寸，深一丈六尺四寸，问粟几何？

    答曰：三千一百一十六斛。

    术曰：列长三丈八尺，以阔乘之，得四百七十五，又以深乘之，得七千七百九十，为积尺也。以斛法二尺五寸约之，此依唐时斛法，以今斛考之，有异绿各朝代尺法不同，不可为定法也。合问。

    今有平地聚粟，下周三丈六尺，高八尺六寸，问粟几何？

    答曰：一百二十三斛八斗四升。

    术曰：列下周自乘，得一千二百九十六尺，以高乘之，得一万一千一百四十五尺六寸，以三十六除之，得三百九尺六寸，为积也。以斛法约之，合问。今有仓一所，自方二丈四尺，深一丈，问粟几何？答曰：二千三百四斛。术曰：列方尺自乘，得五百七十六尺，又以深乘之，得五千七百六十尺，为积也。以斛法约之，合问。今有倚壁聚粟，下周一丈八尺，高八尺四寸，问粟几何？答曰：六十斛四斗八升。

    术曰：列下周自乘，得三百二十四尺，又以高乘之，得二千七百二十一尺六寸，以十八而一，得一百五十一尺二寸，为积也。以斛法约之，合问。

    今有内角聚粟，下周九尺六寸，高六尺二寸，问粟几何？

    答曰：二十五斛三斗九升五合二勺。

    术曰：列下周自乘，得九十二尺一寸六分，又以高乘之，得五百七十一尺三寸九分二厘，以九而一，得六十三尺四寸八分八厘，为积也。以斛法约之，合问。

    今有圆囤一所，周一丈九尺，高八尺七寸，问粟几何？

    答曰：一百四斛六斗九升。

    术曰：列周自乘，得三百六十一尺，又以高乘之，得三千一百四十尺七寸，以圆法十二而一，得二百六十一尺七寸二分半，为积也。以斛法约之，合问。

    今有方仓一所，上方四尺，下方六尺，高一丈二尺，问粟几何？答曰：一百二十一硕六斗。

    术曰：上方自乘，下方亦自乘，又上下方相乘，三位并之，得七十六尺，以高乘之，得九百一十二尺，三而一，得三百四尺，为积也。以斛法约之，合问。今有圆囤一所，上周三丈六尺，下周七丈二尺，高二丈，问粟几何？答曰：二千一十六斛。术曰：上周自乘，下周亦自乘，又上下周相乘，三位并之，得九千七十二尺，以高乘之，得一十八万一千四百四十，以三十六而一，得五千四十尺，以斛法约之，合问。

    今有粟一百四硕六斗九升，欲作圆囤贮之，满中而粟适尽，令高八尺七寸，问周几何？答曰：一丈九尺。

    术曰：列米，以斛法二尺五寸乘之，又以十二乘之，得三千一百四十尺七寸，以高八尺七寸除之，得三百六十一，为实，以一为廉法，平方开之，得周，合问。

    双据互换门六问

    今有织匠二十四人，一百九十二日，织锦一千一百五十二匹，欲令六十二人织三百六十曰。问织锦几何？答曰：五千五百八十匹。

    术曰：列三百六十日，以六十二人乘之，又以织锦匹数乘之，得二千五百七十一万二千六百四十，为实。列一百九十二日，以二十四人乘之，得四千六百八为法，实如法而一，合问。今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，欲令三十一人织二千七百九十匹，问几日？毕？答曰：一百八十日。术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。五百七十六匹，以三十一人乘之，得一万七千八百五十六，为法，实如法而一，合问。

    今有织匠一十二人，九十六日织锦五百七十六匹，今一百八十日织二千七百九十匹，问织匠几何？

    答曰：三十一人。

    术曰：列二千七百九十匹，以九十六日乘之，又以十二人乘之，得三百二十一万四千八十，为实。一百八十日，以五百七十六匹乘之，得一十万三千六百八十为法，实如法而一，合问。

    今有盐丁九人，七日煎盐五十五引五十斤，今增一百八十五人煎四十八日，问得盐几何？

    答曰：八千一百四十八引。

    术曰：列一百八十五人，答入九人，得一百九十四人，以四十八日乘之，又以五十五引一分二厘半乘之，引下分者，乃四百斤约之。得五十一万三千三百二十四，为实。列九人，以七日乘之，得六十三，为法，实如法而一，合问。

    今有船载物，装重五百斤，行路八十里，脚钱一百五十文。今载八万六千斤，欲行三千四百里，问与脚钱几何？答曰：一千九十六贯五百文。

    术曰：列八万六千斤，以三千四百里乘之，又以一百五十文乘之，得四百三十八亿六千万，为实。又列五百斤，以八十里乘之，得四万为法，实如法而一，合问。双据互换之法，学者少识所乘所除之理。前问织锦三术，返复还源备矣。此问与前盐义同，而今有之，及雇车行道相类也，故引草证，使习算者无疑矣。

    今有黍一硕五斗，变米八斗四升，每米四斗五升，造酒七斗八升。今欲造酒二十五硕七斗七十五分斗之一十七。问用黍几何？

    答曰：二十六硕五斗。

    术曰：列二十五硕七斗，通分内子一十七，得一万九干二百九十二，以一硕五斗乘之，又以四。斗五升乘之，得一百三十万二千二百一十，为实。列米八斗四升，以酒七斗八升乘之，又以分母七十五乘之，得四千九百一十四，为法，实如法而一，合问

    求差分和门九问

    今有鸡、兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四。问鸡、兔各几何？

    答曰：鸡六十四只，兔三十六个。

    术曰：列一百，以兔足乘之，得数，内减共足，余一百二十八为实。列鸡、兔足，以少减多，余二为法，而一，得鸡，反减一百，即兔合问。

    又术曰：倍一百，以减共足，余半之，即兔也。

    今有钱二十九贯六百八十七文五分，共买蜜蜡一百四十六斤六两，只云蜡斤价三百八十文，蜜斤价六十八文。问各几何？

    答曰：蜜八十三斤二两，蜡六十三斤四两。

    术曰：列蜜蜡共数，斤下留两，以蜡斤价乘之，得五十五贯六百二十二文五分，内减今有钱，余二十五贯九百三十五文，为实。列蜜蜡斤价相减，余三百一十二文，为法，实如法而一，得蜜斤下分者身外，加六为两，反减共数，余即蜡也。合问。

    今有粟米一十七硕三升，直钱一十九贯四百三文。只云：粟斗价七十五文，米斗价一百六十四文。问各几何？

    答曰：米七硕四斗五升，粟九硕五斗八升。

    术曰：列粟米共数，以粟斗价乘之，得一十二贯七百七十二文五分，以减直钱，余六贯六百三十文五分，为实。列粟米斗价相减，余八十九文为法，实如法而一，得米，反减共数，余即粟也。合问：

    今有金瓶一十二只，银瓶一十五只，秤之重适等，交换一只，有秤之金轻五两七钱半。问二色各一重几何？

    答曰：金瓶一只，重二十八两七钱半；银瓶一只，重二十三两。

    术曰：副置五两七钱半，上位十五乘之，下位十二乘之，各自为实，列金、银瓶，以少减多，余三只为法，各实如法而一，上为金瓶重，下为银瓶重。合问：今有罗七尺，绫九尺，其价适等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文。问二色尺价各几何？答曰：罗尺价一百六十二文，绫尺价一百二十六文。术曰：置绫九尺，以三十六文乘之，得三百二十四文，为实。列绫、罗尺数相减，余二尺，为法实如法而一，得罗尺价，内减不及，余即绫尺价也。合问。

    今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何？日追及之。

    答曰：二十日。

    术曰：列一十二日，以一百五十里乘之，得一千八百里。为实，列良、驽马日行里数相减，余九十里，为法，实如法而一。合问。

    今有金银一百铤，直钱一千七百二贯七百五十文。只云金一铤之价，买银七铤，二色两价差七百五十文。问金银及两价各几何？铤率各五十两。

    答曰：金二十八铤三十七两，每两价钱八百七十五文。银七十一铤，一十三两。

    每两价钱一百二十五文

    术曰：列银七铤，以铤率通之，得三百五十两，以差七百五十乘之，得二十六万二千五百，为实，以三百两为法，实如法而一，得金两价也。为法之数，乃银三百五十两，内减金五十，而余数也。内减。差，即银两价。又列一百铤通两，以金两价乘之，得数，内减直钱，余二千六百七十二贯二百五十文，为差实，以差七百五十文为法，除之，得银两数，反减五千两，余，即金两数也。各以铤率约之。合问。

    今有油一秤，二斤三两半，欲点醮灯，只云四盏用油三两，三瓯用油五两，须令盏数倍之瓯数。问瓯、盏及油各几何？

    答曰：瓯八十七只，油九斤一两。盏一百七十四只。

    油八斤二两半。

    术曰：依三两五两。左行互乘右行，左上倍之，得图布算四盏，三瓯。一十八，左下得二十，并之得三十八，为法，左行相乘，得十二，为乘法。列共油通两内子，得二百七十五两半，以十二乘之，得三千三百六，为实，实如法而一，得瓯数，倍之，为盏数也。求油者，以异乘同除求之。合问。

    今有竹七节，下二节容米三升，上三节容米二升。问中二节及逐节各容几何？

    答曰：下初一升，二十七分升之十六；次一升，二十七分升之十一，次一升，二十七分升之六，次一升，二十七分升之一，次二十七分升之二十三，次二十七分升之十八，次二十七分升之十三。

    术曰：依三升，二升。左行互乘右行，得数，以少减图布算二节三节。多余五，为差实，乃逐节差数也。分母相乘，得六，为乘法，又并三节、二节，半之，得二节半，以减七节，余四节半，以分母六乘之，得二十七，为法，乃一升之分母。实如法而一，得一升，即衰相去也。列二十七，以三升乘之，得八十一，加差五得八十六，半之，得一升二十七分升之十六，乃是下初节所容之数，递减逐节差，即得。合问。

    差分均配门十问

    今有甲、乙、丙共分息钱四十五贯三十六文。甲元钱五十八贯，乙元钱四十五贯，丙元钱三十六贯。问各分息。钱几何？

    答曰：甲一十八贯七百九十二文，乙一十四贯五百八十文，丙一十一贯六百六十四文。

    术曰：列甲元钱五十八贯，以息钱四十五贯三十六文乘之，得二千六百一十二贯八十八文；又列乙元钱四十五贯，以四十五贯三十六文乘之，得二千二十六贯六百二十文。又列丙元钱三十六贯，亦以四十五贯三十六文乘之，得一千六百二十一贯二百九十六文。各为列实，并各人元钱共得一百三十九贯，为法，实如法而一，各得分钱之数。合问：

    今有甲、乙、丙出丝织罗五十四匹二丈四尺。甲丝九斤八两，乙丝八斤一十两，丙丝七斤六两。问各分罗几何？匹法一十六尺。答曰：甲二十匹一丈二尺，乙一十八匹一丈五尺，丙一十五匹二丈三尺。术曰：置罗全匹通尺内子，得一千四百二十八丈，各以元丝通两内子乘之，甲得二十一万七千五十六，乙得一十九万七千六十四，丙得一十六万八千五百四，各为列实，并各人丝得四百八两，为法，各实如法而一，即得。各以匹法约之，合问：

    今有甲、乙、丙共分米三十三硕八升，须令甲四乙三丙一分之，问各几何？

    答曰：甲一十六硕五斗四升，乙一十二硕四斗五合，丙四硕一斗三升五合。

    术曰：各以分率乘共米，甲得一千三百二十三分二厘，乙得九百九十二分四厘，丙得三百三十分八厘，各为列实，并各人分率得八，为法，各实如法而一，得合问。

    今有甲、乙、丙共分钱七十一贯九百文，只云乙如甲五分之三，却多如丙钱一贯八百文。问各得几何？

    答曰：甲三十三贯五百文，乙二十贯一百文，丙一十八贯三百文。

    术曰：列共分钱内虚，加一贯八百，得七十三贯七百，为实，并各人分率得一十一，为法，而一，得六贯七百，为一分之率。副置上位，五之，得甲钱，下位三之，得乙钱。乙钱内减一贯八百，余即丙钱。合问。

    今有甲、乙、丙相合查盐，甲三千六百五十引，乙二千一百五十引，丙一千九百五十引。今盐不敷，止查得四千六百五十引，问各人分盐几何？

    答曰：甲二千一百九十引，己一干二百九十引，丙一千二百七十引。

    术曰：各列元引，以止查盐数乘之，甲得一千六百九十七万二千五百，乙得九百九十九万七千五百，丙得九百六万七千五百，各为列实，并各人元引得七千七百五十，为法，各实如法而一，合问：

    今有银一秤，一斤十两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问各得几何？

    答曰：甲一百五十二两，乙七十六两，丙三十八两。

    术日：置银通两，内子得二百六十六两，为实，并各人分数得七为法，实如法而一，得丙银，倍之为乙银，又倍即甲银。合问：

    今有甲、乙、丙、丁分丝五百四十四斤，从上作四六差分之，问各得几何？

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